Question

9．已知$α，β∈（\frac{π}{2}，π）$，且$cosα=-\frac{4}{5}，sinβ=\frac{5}{13}$，
（1）求sin（α+β），与与cos（α-β）的值；
（2）求tan（2α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，cosβ的值，进而利用两角和的正弦函数公式，两角差的余弦函数公式即可计算得解．
（2）由（1）利用同角三角函数基本关系式可求tanα，tanβ，利用二倍角的正切函数公式可求tan2α的值，进而利用两角差的正切函数公式即可求值得解．

解答 解：（1）∵$α，β∈（\frac{π}{2}，π）$，且$cosα=-\frac{4}{5}，sinβ=\frac{5}{13}$，
∴sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{3}{5}$，cosβ=-$\sqrt{1-si{n}^{2}β}$=-$\frac{12}{13}$，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=$\frac{3}{5}×（-\frac{12}{13}）+（-\frac{4}{5}）×\frac{5}{13}$=-$\frac{56}{65}$，
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=（-$\frac{4}{5}$）×$（-\frac{12}{13}）+\frac{3}{5}×\frac{5}{13}$=$\frac{63}{65}$．
（2）由（1）可得：tan$α=\frac{sinα}{cosα}$=-$\frac{3}{4}$，tanβ=-$\frac{5}{12}$，
可得：tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=-$\frac{24}{7}$，
可得：tan（2α-β）=$\frac{tan2α-tanβ}{1+tan2αtanβ}$=$\frac{-\frac{24}{7}-（-\frac{5}{12}）}{1+（-\frac{24}{7}）×（-\frac{5}{12}）}$=-$\frac{253}{204}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，两角差的余弦函数公式，二倍角的正切函数公式，两角差的正切函数公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．