【题目】如图,在四棱锥中,四边形是边长为2的正方形,,为的中点,点在上,平面,在的延长线上,且.
(1)证明:平面.
(2)过点作的平行线,与直线相交于点,点为的中点,求到平面的距离.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)取的中点为,连接,过作交于,连接,通过证明四边形是平行四边形,得,证得线面平行;
(2)考虑三棱锥的体积,利用等体积法求出到平面的距离为,到平面的距离是到平面的距离的一半,即可得解.
(1)证明:记的中点为,连接,过作交于,连接,
则,且.
因为平面,所以.
在中,,,易求,.
又,则.
因为,所以.
因为,且,所以四边形是平行四边形,
所以,又平面,平面,
所以平面.
(2)因为平面,所以,而是正方形,所以.
因为与显然是相交直线,所以平面,
所以平面平面.
记的中点为,连接,,则平面,且.
因为点为的中点,所以,,,
在中,,,,所以.
,所以,
而三棱锥的体积.
记到平面的距离为,
则,所以.
因为到平面的距离是到平面的距离的一半,
所以到平面的距离为.
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【题目】己知某区甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数分别为240,160,80.为助力疫情防控,现采用分层抽样的方法,从这三所学校的教师志愿者中抽取6名教师,参与“抗击疫情·你我同行”下卡口执勤值守专项行动.
(Ⅰ)求应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取的人数;
(Ⅱ)设抽出的6名教师志愿者分别记为,,,,,,现从中随机抽取2名教师志愿者承担测试体温工作.
(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
(ii)设为事件“抽取的2名教师志愿者来自同一所学校”,求事件发生的概率.
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【题目】抛掷一个质地均匀的骰子的试验,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“不小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A或事件B至少有一个发生的概率为( )
A.B.C.D.
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【题目】已知抛物线的焦点为,直线与轴相交于点,与曲线相交于点,且
(1)求抛物线的方程;
(2)过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,过分别作抛物线的切线,两切线交于点,求证点的纵坐标为定值.
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【题目】一机器可以按各种不同的速度运转,其生产物件有一些会有缺点,每小时生产有缺点物件的多少随机器运转速度而变化,用x表示转速(单位:转/秒),用y表示每小时生产的有缺点物件个数,现观测得到的4组观测值为.
(1)假定y与x之间有线性相关关系,求y对x的回归直线方程.
(2)若实际生产中所容许的每小时最大有缺点物件数为10,则机器的速度不得超过多少转/秒?(精确到1转/秒)
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,.
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