Question

圆锥底面半径为1，高为

2

，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长是（　　）

• A．

  2

  4

• B．

  2

  3

• C．

  2

  2

• D．

  2

Answer 1

分析：作出圆锥经过正方体上底面对角线的截面，得圆锥的轴截面SEF和正方体对角面CDD₁C₁，如图所示．作SO⊥EF于O，可得S0=

2

且OE=1，设正方体棱长为x，利用三角形相似建立关系式解出x的值，即可得到该正方体的棱长．

解答：解：过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面，如图所示
可得圆锥的轴截面SEF和正方体对角面CDD₁C₁，
设正方体棱长为x，则CC₁=x，C₁D₁=

2

x
作SO⊥EF于O，可得S0=

2

且OE=1，
∵△ECC₁∽△EOS，
∴

CC1

SO

=

EC1

EO

，代入数据得

x

2

=

1- 2 2 x

1

解之得x=

2

2

，即内接正方体棱长为

2

2

故选：C

点评：本题给出圆锥的内接正方体，在已知圆锥的底面半径和高的情况下求内接正方体的棱长，着重考查了圆锥的性质、正方体的性质、组合图形的结构特征和相似三角形等知识，属于中档题．