Question

已知两个等比数列{a_n}，{b_n}满足a₁=a（a＞0），b₁-a₁=1，b₂-a₂=2，b₃-a₃=3，若数列{a_n}唯一，则a=________．

Answer 1

分析：设等比数列{a_n}的公比为q，由题意可得 （2+aq）²=（1+a）（3+aq²），根据a＞0，△=4a²+4a＞0，可得此方程必有一根为0，由此解得a的值．
解答：设等比数列{a_n}的公比为q，由题意可得 （2+aq）²=（1+a）（3+aq²），
整理得关于未知数q的方程：aq²-4aq+3a-1=0．
∵a＞0，△=4a²+4a＞0，关于公比q的方程有两个不同的解，
再由数列{a_n}唯一，公比q的值只能有一个，故这两个q的值必须有一个不满足条件．
再由公比q的值不可能等于0，可得方程aq²-4aq+3a-1=0必有一根为0，求得a=．
故答案为 ．
点评：本题主要考查等比数列的通项，等比中项及方程思想，属中档题．