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若函数f(x)对于任意x∈[a,b],恒有|f(x)-f(a)-数学公式(x-a)|≤T(T为常数)成立,则称函数f(x)在[a,b]上具有“T级线性逼近”.下列函数中:
①f(x)=2x+1;
②f(x)=x2
③f(x)=数学公式
④f(x)=x3
则在区间[1,2]上具有“数学公式级线性逼近”的函数的个数为


  1. A.
    1
  2. B.
    2
  3. C.
    3
  4. D.
    4
C
分析:根据称函数f(x)在[a,b]上具有“T级线性逼近”的定义,判断各个选项中的函数在区间[1,2]上是否满足“级线性逼近”的定义,从而得出结论.
解答:f(x)=2x+1在区间[1,2]上,由于|f(x)-f(1)-(x-1)|=|0|≤,故f(x)=2x+1在区间[1,2]上具有“级线性逼近”,故满足条件.
f(x)=x2 在区间[1,2]上,由于|f(x)-f(1)-(x-1)|=|(x-1)(x-2)|=-(x-1)(x-2)≤
故f(x)=x2在区间[1,2]上具有“级线性逼近”,故满足条件.
f(x)=在区间[1,2]上,由于|f(x)-f(1)-(x-1)|=|+-|=-(+)≤-2=-
故f(x)=2x+1在区间[1,2]上具有“级线性逼近”,故满足条件.
f(x)=x3在区间[1,2]上,由于|f(x)-f(1)-(x-1)|=|x3-7x+6|=|(x-1)(x-3)(x+2)|=-(x-1)(x-3)(x+2),
由于-(x3-7x+6)的导数为-3x2+7,令-3x2+7=0 可得 x=,在[1,]上,3x2-7<0,-(x-1)(x-3)(x+2)为增函数,
同理可得在[,2]上,-(x-1)(x-3)(x+2)为减函数,故-(x-1)(x-3)(x+2)的最大值为 (-1)(3-)(+2)>
故不满足“级线性逼近”,故不满足条件.
故选C.
点评:本题主要考查新定义:“T级线性逼近”的定义,不等式的性质应用,式子的变形是解题的难点,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

对于函数f(x),其定义域为D,若任取x1、x2∈D,且x1≠x2,若f(
x1+x2
2
)>
1
2
[f(x1)+f(x2)],则称f(x)为定义域上的凸函数.
(1)设f(x)=ax2(a>0),试判断f(x)是否为其定义域上的凸函数,并说明原因;
(2)若函数f(x)=㏒ax(a>0,且a≠1)为其定义域上的凸函数,试求出实数a的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

下列说法中,正确的是(  )
①对于定义域为R的函数f(x),若函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于x=1对称;
②当a>1时,任取x∈R都有ax>a-x
③“a=1”是“函数f(x)=lg(ax+1)在(0,+∞)上单调递增”的充分必要条件;
④设a∈{-1,1,
1
2
,3},则使函数y=xa的定义域为R且该函数为奇函数的所有a的值为1,3;
⑤已知a是函数f(x)=2x-log0.5x的零点,若0<x0<a,则f(x0)<0.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

对于函数f(x),其定义域为D,若任取x1、x2∈D,且x1≠x2,若f(
x1+x2
2
)>
1
2
[f(x1)+f(x2)],则称f(x)为定义域上的凸函数.
(1)设f(x)=ax2(a>0),试判断f(x)是否为其定义域上的凸函数,并说明原因;
(2)若函数f(x)=㏒ax(a>0,且a≠1)为其定义域上的凸函数,试求出实数a的取值范围.

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年黑龙江省大庆市铁人中学高三(上)第二次段考数学试卷(解析版) 题型:选择题

下列说法中,正确的是( )
①对于定义域为R的函数f(x),若函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于x=1对称;
②当a>1时,任取x∈R都有ax>a-x
③“a=1”是“函数f(x)=lg(ax+1)在(0,+∞)上单调递增”的充分必要条件;
④设a∈{-1,1,,3},则使函数y=xa的定义域为R且该函数为奇函数的所有a的值为1,3;
⑤已知a是函数f(x)=2x-log0.5x的零点,若0<x<a,则f(x)<0.
A.①④
B.①④⑤
C.②③④
D.①⑤

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年湖北省襄阳市高一(上)期末数学试卷(解析版) 题型:解答题

对于函数f(x),其定义域为D,若任取x1、x2∈D,且x1≠x2,若f()>[f(x1)+f(x2)],则称f(x)为定义域上的凸函数.
(1)设f(x)=ax2(a>0),试判断f(x)是否为其定义域上的凸函数,并说明原因;
(2)若函数f(x)=㏒ax(a>0,且a≠1)为其定义域上的凸函数,试求出实数a的取值范围.

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