Question

已知双曲线C：-y²=1，P是C上的任意点．
（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点A的坐标为（5，0），求|PA|的最小值．

Answer 1

解：（1）设P（x₀，y₀），P到两准线的距离记为d₁，d₂
∵两准线为x-2y=0，x+2y=0…..2'
∴…..4’
又∵点P在曲线C上，
∴=，得（常数）
即点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数….6’
（2）设P（x₀，y₀），由平面内两点距离公式得
|PA|²=…8’
∵，可得=
∴|PA|²==…..9’
又∵点P在双曲线上，满足|x₀|≥2，
∴当x₀=4时，|PA|有最小值，|PA|_min=2….12’
分析：（1）设P（x₀，y₀），由点到直线距离公式，得P到两准线的距离之积满足，再结合点P坐标满足双曲线方程，代入化简整理即可得到，命题得证．
（2）由两点的距离公式结合点P坐标满足双曲线方程，化简整理得|PA|²=，再根据二次函数的图象与性质，即可求出|PA|的最小值．
点评：本题在双曲线中，证明动点到两条渐近线的距离之积为常数并求距离最小值，着重考查了两点间的距离公式、点到直线的距离公式和双曲线的简单性质等知识，属于中档题．