Question

如图，已知曲线C₁：y=x³（x≥0）与曲线C₂：y=-2x³+3x（x≥0）交于O，A，直线x=t（0＜t＜1）与曲线C₁，C₂分别交于B，D．
（Ⅰ）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f（t）；
（Ⅱ）讨论f（t）的单调性，并求f（t）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出两曲线的交点O、A坐标，由直线x=t（0＜t＜1）与曲线C₁，C₂分别交于B，D表示出BD的长，利用四边形ABOD的面积等于三角形ABO的面积+三角形OBD的面积；即可表示函数f（t）的关系式；
（Ⅱ）令f'（t）=0解得t，分区间讨论f（t）的增减性得到哦f（t）的最大值及此时t的值即可．

解答：解：（Ⅰ）由

y=x3 y=-2x3+3x

得交点O、A的坐标分别是（0，0），（1，1）.f(t)=S△ABO+S△OBD=

1

2

|BD|•|1-0|=

1

2

|BD|=

1

2

(-3t3+3t)，
即f(t)=-

3

2

(t3-t)，(0＜t＜1)．
（Ⅱ）f′(t)=-

9

2

t2+

3

2

．令f'（t）=0解得t=

3

3

．
当0＜t＜

3

3

时，f′(t)＞0，从而f（t）在区间(0，

3

3

)上是增函数；
当

3

3

＜t＜1时，f′(t)＜0，从而f（t）在区间(

3

3

，1)上是减函数．
所以当t=

3

3

时，f（t）有最大值为f(

3

3

)=

3

3

．

点评：考查学生根据实际问题选择函数关系的能力，以及利用导数研究函数增减性，利用导数求闭区间上函数最值的能力．