Question

（本题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.

 

（Ⅰ）证明： ；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）为的中点，在线段上是否存在一点，使得∥平面，若存在，求出的长;若不存在，请说明理由.

 

 

 

Answer 1

（Ⅰ）法一:证明∵该几何体的正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,

∴BA,BC,BB₁两两垂直.以BA, BB_1，BC分别为

x,y,z轴建立空间直角坐标系,     

则B(0,0,0),N(4,4,0),B₁(0,8,0),C₁(0,8,4),C(0,0,4)

∵(4,4,0)(-4,4,0)

(4,4,0)(0,0,4)=0 ……3分

∴BN⊥NB₁, BN⊥B₁C₁.又NB₁与B₁C₁相交于B₁,

∴BN⊥平面C₁B₁N.                                    …………4分

法二:∵该几何体的正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,

∴BA,BC,BB₁两两垂直.∴BC⊥平面ANB₁B

∵BC∥B₁C₁∴B₁C₁⊥平面ANB₁B_,∴BN⊥B₁C₁   ………2分

取BB₁中点D，连结ND.

则ANDB是正方形，NDB₁是等腰直角三角形

又

 ,                 …………4分

（Ⅱ）法一：∵BN⊥平面C₁B₁N是平面C₁B₁N的一个法向量=(4,4,0),

设为平面NCB₁的一个法向量,则

,，

                                           

则 

由图可知，所求二面角为锐角，

所以，所求二面角C－NB₁－C₁的余弦值为.                 …………9分

法二：只要求二面角的正弦值，由（Ⅰ）易证为二面角的平面角，,,

,故所求二面角C－NB₁－C₁的余弦值为

（Ⅲ）∵.设（）为上一点,则，

   ∥平面,

∴，           

∴在CB上存在一点P(0,0,1), ∥平面且     ………12分