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【题目】(本小题满分13分)

如图,已知抛物线,过点任作一直线与相交于两点,过点轴的平行线与直线相交于点为坐标原点).

(1)证明:动点在定直线上;

(2)的任意一条切线(不含轴)与直线相交于点,与(1)中的定直线相交于点,证明:为定值,并求此定值.

【答案】(1)详见解析,(2)8.

【解析】

试题分析:(1)证明动点在定直线上,实质是求动点的轨迹方程,本题解题思路为根据条件求出动点的坐标,进而探求动点轨迹:依题意可设AB方程为,代入,得,即.设,则有:,直线AO的方程为;BD的方程为;解得交点D的坐标为,注意到,则有,因此D点在定直线上.(2)本题以算代征,从切线方程出发,分别表示出的坐标,再化简.设切线的方程为,代入,即,由,化简整理得,故切线的方程可写为,分别令的坐标为,则,即为定值8.

试题解析:(1)解:依题意可设AB方程为,代入,得,即.设,则有:,直线AO的方程为;BD的方程为;解得交点D的坐标为,注意到,则有,因此D点在定直线上.(2)依题设,切线的斜率存在且不等于零,设切线的方程为,代入,即,由,化简整理得,故切线的方程可写为,分别令的坐标为,则,即为定值8.

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