【题目】(本小题满分13分)
如图,已知抛物线,过点
任作一直线与
相交于
两点,过点
作
轴的平行线与直线
相交于点
(
为坐标原点).
(1)证明:动点在定直线上;
(2)作的任意一条切线
(不含
轴)与直线
相交于点
,与(1)中的定直线相交于点
,证明:
为定值,并求此定值.
【答案】(1)详见解析,(2)8.
【解析】
试题分析:(1)证明动点在定直线上,实质是求动点
的轨迹方程,本题解题思路为根据条件求出动点
的坐标,进而探求动点
轨迹:依题意可设AB方程为
,代入
,得
,即
.设
,则有:
,直线AO的方程为
;BD的方程为
;解得交点D的坐标为
,注意到
及
,则有
,因此D点在定直线
上.(2)本题以算代征,从切线方程出发,分别表示出
的坐标,再化简
.设切线
的方程为
,代入
得
,即
,由
得
,化简整理得
,故切线
的方程可写为
,分别令
得
的坐标为
,则
,即
为定值8.
试题解析:(1)解:依题意可设AB方程为,代入
,得
,即
.设
,则有:
,直线AO的方程为
;BD的方程为
;解得交点D的坐标为
,注意到
及
,则有
,因此D点在定直线
上.(2)依题设,切线
的斜率存在且不等于零,设切线
的方程为
,代入
得
,即
,由
得
,化简整理得
,故切线
的方程可写为
,分别令
得
的坐标为
,则
,即
为定值8.
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【题目】三个班共有
名学生,为调查他们的上网情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长,数据如下表(单位:小时):
| |
| |
|
(1)试估计班的学生人数;
(2)从这120名学生中任选1名学生,估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率;
(3)从A班抽出的6名学生中随机选取2人,从B班抽出的7名学生中随机选取1人,求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,
,上顶点为A,过
的直线
与y轴交于点M,满足
(O为坐标原点),且直线l与直线
之间的距离为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)在直线上是否存在点P,满足
?存在,指出有几个这样的点(不必求出点的坐标);若不存在,请说明理由.
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【题目】已知O为坐标原点,抛物线C:y2=8x上一点A到焦点F的距离为6,若点P为抛物线C准线上的动点,则|OP|+|AP|的最小值为( )
A. 4B. C.
D.
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【题目】如图,已知梯形中,
,
,
,四边形
为矩形,
,平面
平面
.
(1)求证:平面
;
(2)求平面与平面
所成二面角的正弦值;
(3)若点在线段
上,且直线
与平面
所成角的正弦值为
,求线段
的长.
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【题目】谢宾斯基三角形是一种分形,由波兰数学家谢宾斯基在1915年提出,先作一个正三角形.挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形),然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”,我们用白色代表挖去的面积,那么黑三角形为剩下的面积(我们称黑三角形为谢宾斯基三角形).向图中第5个大正三角形中随机撒512粒大小均匀的细小颗粒物,则落在白色区域的细小颗粒物的数量约是( )
A.256B.350C.162D.96
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【题目】已知过椭圆的四个顶点与坐标轴垂直的四条直线围成的矩形
(
是第一象限内的点)的面积为
,且过椭圆
的右焦点
的倾斜角为
的直线过点
.
(1)求椭圆的标准方程
(2)若射线与椭圆
的交点分别为
.当它们的斜率之积为
时,试问
的面积是否为定值?若为定值,求出此定值;若不为定值,说明理由.
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【题目】如图①,是以
为斜边的等腰直角三角形,
是等边三角形,
,如图②,将
沿
折起使平面
平面
分别为
的中点,点
在棱
上,且
,点
在棱
上,且
.
(1)在棱上是否存在一点
,使平面
平面
?若存在,求
的值;若不存在,请说明理由.
(2)求点到平面
的距离.
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