Question

在△ABC中，a、b、c分别为角ABC的对边，已知向量

p

=（a+b，c），

q

=（b-a，c-b），且|

p

+

q

|=|

p

-

q

|，
（1）求角A的值；
（2）若a=

3

，设角B的大小为x，△ABC的周长为y，求y=f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由条件可得b²+c²-a²-bc=0，利用余弦定理求出cosA=

1

2

，从而得到角A的值．
（2）由A=

π

3

及a=

3

，利用正弦定理可得

3

sin π 3

=

b

sinx

=

c

sin( 2π 3 -x)

，求出b、c的值，根据两角和差的正弦公式，化简周长y=a+b+c为

3

+2

3

sin（x+

π

6

），再根据
x的范围及正弦函数的定义域和值域求出 y=f（x）的值域．

解答：解：（1）∵向量

p

=（a+b，c），

q

=（b-a，c-b），且|

p

+

q

|=|

p

-

q

|，
∴

p

2+

q

2+2

p

•

q

=

p

2+

q

2-2

p

•

q

，∴

p

•

q

=0，
即 （a+b ）（b-a）+c（c-b）=0，∴b²+c²-a²-bc=0．
△ABC中，由余弦定理可得 cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，∴A=

π

3

．
（2）由A=

π

3

及a=

3

，利用正弦定理可得

3

sin π 3

=

b

sinx

=

c

sin( 2π 3 -x)

，
∴b=2sinx，c=2sin（

2π

3

-x），0＜x＜

2π

3

．
∴周长y=a+b+c=

3

+2sinx+2 sin（

2π

3

-x）=

3

+2sinx+2 （

3

2

cosx+

1

2

sinx）=

3

+2

3

 sin（x+

π

6

）．
∵0＜x＜

2π

3

，∴

π

6

＜x+

π

6

＜

5π

6

，

1

2

＜sin（x+

π

6

）≤1，∴

3

＜2

3

sin（x+

π

6

）≤2

3

，2

3

＜y≤3

3

．
故 y=f（x）的值域为（2

3

，3

3

]．

点评：本题主要考查正弦函数的定义域和值域，两角和差的正弦公式，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．