Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-b）cosC-ccosB=0．

（Ⅰ）求角C的值；

（Ⅱ）若三边a，b，c满足a+b=13，c=7，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】（1）C＝.（2）10

【解析】

（1）由正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cos C,即得C.（2）由余弦定理解得C，再根据三角形面积公式得结果.

(1)根据正弦定理，(2a－b)cos C－ccos B＝0可化为(2sin A－sin B)cos C－sin Ccos B＝0.

整理得2sin Acos C＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A.

∵0<A<π，∴sin A≠0，∴cos C＝.又∵0<C<π，∴C＝.

(2)由(1)知cos C＝，又a＋b＝13，c＝7，∴由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝169－3ab＝49，解得ab＝40.∴S△ABC＝absin C＝×40×sin＝10.