Question

（本大题12分）如图，在棱长为ɑ的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别是CB、CD、CC₁的中点．
（1）求直线C与平面ABCD所成角的正弦的值；
（2）求证：平面A B₁D₁∥平面EFG；
（3）求证：平面AA₁C⊥面EFG ．

Answer 1

（1） ； （2）见解析；（3）见解析。

试题分析：(1)因为平面ABCD,所以为与平面ABCD所成角,
然后解三角形求出此角即可.
（2）证明面面平行根据判定定理只须证明平面平面A B₁D₁内两条相交直线和分别平行于平面EFG即可.在证明线面平行时又转化为证明线线平行.
(3)易证：BD平面AA₁C，再证明EF//BD，因而可证出平面AA₁C⊥面EFG.
（1）∵平面ABCD=C，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁
平面ABCD
∴AC为在平面ABCD的射影
∴为与平面ABCD所成角……….2分
正方体的棱长为
∴AC=，=
                  ………..4分
（2）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁
连接BD，∥，=
 为平行四边形
∴∥∵E，F分别为BC，CD的中点
∴EF∥BD∴EF∥…………3分
∵EF平面GEF，平面GEF
∴∥平面GEF              …………7分
同理∥平面GEF∵=
∴平面A B₁D₁∥平面EFG        ……………9分
（3）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁∴  平面ABCD
∵EF平面ABCD
∴ EF             …………10分
∵ABCD为正方形
∴ACBD
∵EF∥BD
∴AC EF             ………..11分

∴EF平面AA₁C
∵EF平面EFG
∴平面AA₁C⊥面EFG        …………….12分.
点评：斜线与平面所成的角就是斜线与它在这个平面内的射影所成的角，因而关键是找到它在这个平面内的射影.面面垂直（平行）证明要转化为证明线面垂直（平行）再转化为线线垂直（平行）.