Question

设函数f（x）=

a

•

b

定义在R上，其中

a

=(cosx，sin2x)，

b

=(2cosx，

3

)．
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移

π

6

单位后，再将得到的图象上各点的横坐标延长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，若g（x）＜m+2在x∈[O，2π]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先利用向量的数量积公式，再利用辅助角公式化简函数，利用正弦函数的单调增区间，即可求得结论；
（2）先求函数y=g（x），再求函数的最小值，即可求得实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵

a

=(cosx，sin2x)，

b

=(2cosx，

3

)，
∴y=f（x）=2cos²x+

3

sin2x=cos2x+

3

sin2x+1=2sin（2x+

π

6

）
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），可得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ（k∈Z），
∴函数y=f（x）的单调递增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移

π

6

单位后，再将得到的图象上各点的横坐标延长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=2sin（

1

4

x-

π

6

）
∵x∈[O，2π]，∴

1

4

x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]
∴sin（

1

4

x-

π

6

）∈[-

1

2

，

3

2

]
∴2sin（

1

4

x-

π

6

）∈[-1，

3

]
∵f（x）＜m+2在x∈[O，2π]上恒成立，
∴-1＜m+2，∴m＞-3．

点评：本题考查向量的数量积运算，考查辅助角公式的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，正确确定函数解析式是关键．