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    6．如图，由直三棱柱ABC-A1B1C1和四棱锥D-BB1C1C构成的几何体中，∠BAC=90°，AB=1，BC=BB1=2，C1D=CD=$\sqrt{5}$，平面CC1D⊥平面ACC1A1．
    （Ⅰ）求证：AC⊥DC1；
    （Ⅱ）若M为DC1的中点，求证：AM∥平面DBB1；
    （Ⅲ）在线段BC上是否存在点P，使直线DP与平面BB1D所成的角为$\frac{π}{3}$？若存在，求$\frac{BP}{BC}$的值，若不存在，说明理由．

    分析 （Ⅰ）证明AC⊥CC1，得到AC⊥平面CC1D，即可证明AC⊥DC1．
    （Ⅱ）易得∠BAC=90°，建立空间直角坐标系A-xyz，
    依据已知条件可得A（0，0，0），$C（0，\sqrt{3}，0）$，${C_1}（2，\sqrt{3}，0）$，B（0，0，1），B1（2，0，1），$D（1，\sqrt{3}，2）$，
    利用向量求得AM与平面DBB1所成角为0，即AM∥平面DBB1．
    （Ⅲ）利用向量求解

    解答 解：（Ⅰ）证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，故AC⊥CC1，
    由平面CC1D⊥平面ACC1A1，且平面CC1D∩平面ACC1A1=CC1，
    所以AC⊥平面CC1D，
    又C1D?平面CC1D，所以AC⊥DC1．
    （Ⅱ）证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，
    所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，
    又∠BAC=90°，所以，如图建立空间直角坐标系A-xyz，
    依据已知条件可得A（0，0，0），$C（0，\sqrt{3}，0）$，${C_1}（2，\sqrt{3}，0）$，B（0，0，1），B1（2，0，1），$D（1，\sqrt{3}，2）$，
    所以$\overrightarrow{B{B_1}}=（2，0，0）$，$\overrightarrow{BD}=（1，\sqrt{3}，1）$，
    设平面DBB1的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
    由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{B{B_1}}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{BD}=0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}2x=0\\ x+\sqrt{3}y+z=0\end{array}\right.$
    令y=1，则$z=-\sqrt{3}$，x=0，于是$\overrightarrow n=（0，1，-\sqrt{3}）$，
    因为M为DC1中点，所以$M（\frac{3}{2}，\sqrt{3}，1）$，所以$\overrightarrow{AM}=（\frac{3}{2}，\sqrt{3}，1）$，
    由$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow n=（\frac{3}{2}，\sqrt{3}，1）•（0，1，-\sqrt{3}）=0$，可得$\overrightarrow{AM}⊥\overrightarrow n$，
    所以AM与平面DBB1所成角为0，
    即AM∥平面DBB1．

    （Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知平面BB1D的法向量为$\overrightarrow n=（0，1，-\sqrt{3}）$．
    设$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{BC}$，λ∈[0，1]，
    则$P（0，\sqrt{3}λ，1-λ）$，$\overrightarrow{DP}=（-1，\sqrt{3}λ-\sqrt{3}，-1-λ）$．
    若直线DP与平面DBB1成角为$\frac{π}{3}$，则$|cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{DP}＞|=\frac{{|\overrightarrow n•\overrightarrow{DP}|}}{{|\overrightarrow n|•|\overrightarrow{DP}|}}=\frac{{|2\sqrt{3}λ|}}{{2\sqrt{4{λ^2}-4λ+5}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
    解得$λ=\frac{5}{4}∉[{0，1}]$，
    故不存在这样的点．

    点评 本题考查了空间线线垂直、线面平行的判定，向量法求二面角．属于中档题

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