【题目】已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acos C+asin C-b-c=0.
(1)求A;
(2)若AD为BC边上的中线,cos B=,AD=
,求△ABC的面积.
【答案】(1)A=60°;(2)
【解析】
(1)利用正弦定理,把边化为角,结合辅助角公式可求;
(2)利用三角形内角关系求出,结合正弦定理求出
关系,利用余弦定理可求
.
(1)acos C+asin C-b-c=0,由正弦定理得sin Acos C+
sin Asin C=sin B+sin C,
即sin Acos C+sin Asin C=sin(A+C)+sin C,
又sin C≠0,所以化简得sin A-cos A=1,所以sin(A-30°)=
.
在△ABC中,0°<A<180°,所以A-30°=30°,得A=60°.
(2)在△ABC中,因为cos B=,所以sin B=
.
所以sin C=sin(A+B)=×
+
×
=
.
由正弦定理得,.
设a=7x,c=5x(x>0),则在△ABD中,AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos B,
即=25x2+
×49x2-2×5x×
×7x×
,解得x=1,所以a=7,c=5,
故S△ABC=acsin B=10
.
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【题目】已知椭圆的左、右顶点分别为
,
,上下顶点分别为
,
,左、右焦点分别为
,
,离心率为e.
(1)若,设四边形
的面积为
,四边形
的面积为
,且
,求椭圆C的方程;
(2)若,设直线
与椭圆C相交于P,Q两点,
分别为线段
,
的中点,坐标原点O在以MN为直径的圆上,且
,求实数k的取值范围.
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【题目】某个命题与自然数n有关,如果当(
)时该命题成立,则可得
时该命题也成立,若已知
时命题不成立,则下列说法正确的是______(填序号)
(1)时,该命题不成立;
(2)时,该命题不成立;
(3)时,该命题可能成立;
(4)时,该命题可能成立也可能不成立,但若
时命题成立,则对任意
,该命题都成立.
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【题目】下列四个命题中真命题是
A. 同垂直于一直线的两条直线互相平行
B. 底面各边相等,侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱
C. 过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条
D. 过球面上任意两点的大圆有且只有一个
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【题目】如图,已知椭圆
的离心率为
,且过点
.
(I)求椭圆的标准方程;
(II)设点,
是椭圆
上异于顶点的任意两点,直线
,
的斜率分别为
,
且
.
①求的值;
②设点关于
轴的对称点为
,试求直线
的斜率.
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【题目】在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:=1(a>b>0)的离心率为
,且过点
,点P在第四象限, A为左顶点, B为上顶点, PA交y轴于点C,PB交x轴于点D.
(1) 求椭圆 C 的标准方程;
(2) 求 △PCD 面积的最大值.
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【题目】如图,长为,宽为
的矩形纸片
中,
为边
的中点,将
沿直线
翻转
(
平面
),若
为线段
的中点,则在
翻转过程中,下列说法错误的是( )
A. 平面
B. 异面直线与
所成角是定值
C. 三棱锥体积的最大值是
D. 一定存在某个位置,使
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