Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，若对任意n∈N^*，都有S_n=3a_n-5n．
（1）求数列{a_n}的首项；
（2）若数列{a_n+λ}是等比数列，试求出实数λ的值，并写出数列{a_n}的通项公式；
（3）数列{b_n}满足b_n=

9n+4

an+5

，是否存在m，对任意n∈N^*使得b_n≤b_m成立？如果存在，求出正整数m的值，如果不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）直接在数列递推式中取n=1求得数列首项；
（2）在数列递推式中取n=n-1得另一递推式，作差后得到{a_n+5}是以

3

2

为公比的等比数列，即λ的值是5．然后由等比数列的通项公式求得数列{a_n}的通项公式；
（3）把数列{a_n}的通项公式代入足b_n=

9n+4

an+5

，利用作商法得到当n≥3时，

bn

bn-1

＜1，当n=2时，

bn

bn-1

＞1，由此可得答案．

解答： 解：（1）∵S_n=3a_n-5n  ①，
∴S₁=a₁=3a₁-5，解得a1=

5

2

；
（2）由S_n=3a_n-5n，得S_n-1=3a_n-1-5（n-1），n≥2  ②．
①-②得，an=

3

2

an-1+

5

2

，
∴an+5=

3

2

(an-1+5)，
∴{a_n+5}是以

3

2

为公比的等比数列，即λ的值是5．
∴an=

15

2

•(

3

2

)n-1-5；
（3）∵b_n=

9n+4

an+5

，
∴bn=

9n+4

15 2 •( 3 2 )n-1

．
∴

bn

bn-1

=

9n+4 15 2 •( 3 2 )n-1

9n-5 15 2 •( 3 2 )n-2

=

18n+8

27n-15

．

18n+8

27n-15

-1=

18n+8-27n+15

27n-15

=

-9n+23

27n-15

．
∴当n≥3时，

bn

bn-1

＜1，当n=2时，

bn

bn-1

＞1，
∴当n=2时，b_n有最大值b2=

264

135

．
∴m=2．

点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了利用作商法判断数列的单调性，考查了数列的函数特性，训练了利用单调性求函数的最值，是压轴题．