Question

（1）已知：等差数列{a_n}的首项a₁，公差d，证明数列前n项和Sn=na1+

n(n-1)

2

d；
（2）已知：等比数列{a_n}的首项a₁，公比q，则证明数列前n项和Sn=

a1(1-qn) 1-q (q≠1) na1(q=1)

．

Answer 1

分析：（1）由于 s_n=a₁+（a₁+d）+（a₁+2d）+…+[a₁+（n-1）d]，且 s_n=a_n+（a_n-d）+（a_n-2d）+…+[a_n-（n-1）d]，两式相加即可证得结论．
（2）当公比q=1时，等比数列{a_n}的所有项都等于a₁，可得s_n=na₁．当公比q≠1时，由于s_n=a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n-1，qs_n=a₁q+a₁q²+a₁q³+…+a₁q^n-1+a₁ qⁿ，错位相减可得（1-q）s_n=a₁-a₁qⁿ，从而证得结论成立．

解答：（1）证明：∵s_n=a₁+（a₁+d）+（a₁+2d）+…+[a₁+（n-1）d]，
s_n=a_n+（a_n-d）+（a_n-2d）+…+[a_n-（n-1）d]，
相加可得 2s_n=n（a₁+a_n），∴s_n=

n(a1+an)

2

．
再把 a_n=a₁+（n-1）d 代入可得 Sn=na1+

n(n-1)

2

d．
（2）证明：当公比q=1时，等比数列{a_n}的所有项都等于a₁，∴s_n=na₁．
当公比q≠1时，∵s_n=a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n-1，
qs_n=a₁q+a₁q²+a₁q³+…+a₁q^n-1+a₁ qⁿ，
错位相减可得（1-q）s_n=a₁-a₁qⁿ，
∴s_n=

a 1  -a1 qn

1-q

=

a1(1-qn)

1-q

，
故Sn=

a1(1-qn) 1-q (q≠1) na1(q=1)

．

点评：本题主要考查用倒序相加法等差数列前n项和公式，用错位相减法等比数列前n项和公式，属于中档题．