Question

【题目】某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．设表示学生注意力指标．

该小组发现随时间（分钟）的变化规律（越大，表明学生的注意力越集中）如下：（且）．

若上课后第分钟时的注意力指标为，回答下列问题：

（）求的值．

（）上课后第分钟和下课前分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由．

（）在一节课中，学生的注意力指标至少达到的时间能保持多长？

Answer 1

【答案】(1) .

(2) 上课后第分钟时比下课前分钟时注意力更集中；理由见解析.

(3) 学生的注意力指标至少达到的时间能保持分钟．

【解析】分析：（1）由题意，，从而求出a的值；

（2）上课后第5分钟末时，，下课前5分钟末，从而可得答案；

（3）分别讨论三段函数上，从而求出的解，从而求在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持的时间.

详解：（）由题意得，当时，，即，

解得．

（）∵，，

∴，

故上课后第分钟时比下课前分钟时注意力更集中．

（）①当时，由（）知，，解得；

②当时，恒成立；

③当时，，解得．

综上所述，．

故学生的注意力指标至少达到的时间能保持分钟．