Question

3．已知数列{a_n}满足：点（a_n，a_n+1）在直线y=x-3上，且a₁=18
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2^a_n，{b_n}的前n项积为T_n，求证：T_n≤2⁶³．

Answer 1

分析 （1）由点（a_n，a_n+1）在直线y=x-3上，可得a_n+1=a_n-3，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=2^a_n=8^7-n．可得{b_n}的前n项积为T_n=${8}^{-\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{13}{2}n}$，由于$-\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{13}{2}n$=$-\frac{1}{2}（n-\frac{13}{2}）^{2}$+$\frac{169}{8}$≤21，即可得出．

解答 （1）解：∵点（a_n，a_n+1）在直线y=x-3上，
∴a_n+1=a_n-3，
即a_n+1-a_n=-3，
又a₁=18，
∴数列{a_n}是等差数列，首项为18，公差为-3．
∴a_n=18-3（n-1）=21-3n．
（2）证明：b_n=2^a_n=8^7-n．
∴{b_n}的前n项积为T_n=8^{6+5+…+（7-n）}=${8}^{\frac{n（6+7-n）}{2}}$=${8}^{-\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{13}{2}n}$，
∵$-\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{13}{2}n$=$-\frac{1}{2}（n-\frac{13}{2}）^{2}$+$\frac{169}{8}$≤$-\frac{1}{2}×{6}^{2}+\frac{13}{2}×6$=21，
∴T_n≤8²¹=2⁶³．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．