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    （2013•黑龙江二模）已知向量
    a
    ，
    b
    ，
    c
    满足：|
    a
    |=1，|
    b
    |=
    		2
    ，
    b
    在
    a
    上的投影为
    1
    2
    ，（
    a
    -
    c
    ）（
    b
    -
    c
    ）=0，则|
    c
    |的最大值为
    1+
    		2
    2
    1+
    		2
    2
    ．
    分析：建立直角坐标系O-xy．设
    a
    =(1，0)    ，由
    b
    在
    a
    上的投影为
    1
    2
    ，可得cos＜
    a
    ，
    b
    ＞    =
    		2
    4
    ，得到sin＜
    a
    ，
    b
    ＞    =
    		1-(
    		2
    4
    )2
    =
    		14
    4
    ，即可得到
    b
    =(
    1
    2
    ，
    		7
    2
    )    ．设
    c
    =(x，y)    ，由（
    a
    -
    c
    ）•（
    b
    -
    c
    ）=0得(1-x，-y)•(
    1
    2
    -x，
    		7
    2
    -y)=0    ，得到(x-
    3
    4
    )2+(y-
    		7
    4
    )2=
    1
    2
    ．得圆心C(
    3
    4
    ，
    		7
    4
    )    ，半径r=
    		2
    2
    ．利用|
    c
    |    =
    		x2+y2
    ≤|
    OC
    |    +r即可得到|
    c
    |的最大值．
    解答：解：建立直角坐标系O-xy．
    设
    a
    =(1，0)    ，
    ∵
    b
    在
    a
    上的投影为
    1
    2
    ，
    ∴|
    b
    |    cos＜
    a
    ，
    b
    ＞    =
    1
    2
    ，∴cos＜
    a
    ，
    b
    ＞    =
    		2
    4
    ，
    ∴sin＜
    a
    ，
    b
    ＞    =
    		1-(
    		2
    4
    )2
    =
    		14
    4
    ，
    ∴
    b
    =(
    1
    2
    ，
    		7
    2
    )    ．
    设
    c
    =(x，y)    ，由（
    a
    -
    c
    ）•（
    b
    -
    c
    ）=0得(1-x，-y)•(
    1
    2
    -x，
    		7
    2
    -y)=0    ，
    得(1-x)(
    1
    2
    -x)-y(
    		7
    2
    -y)=0    ，化为(x-
    3
    4
    )2+(y-
    		7
    4
    )2=
    1
    2
    ．
    得圆心C(
    3
    4
    ，
    		7
    4
    )    ，半径r=
    		2
    2
    ．
    ∴|
    c
    |    =
    		x2+y2
    ≤|
    OC
    |    +r=
    		(
    3
    4
    )2+(
    		7
    4
    )2
    +
    		2
    2
    =1+
    		2
    2
    ．
    故|
    c
    |的最大值为1+
    		2
    2
    ．
    故答案为1+
    		2
    2
    ．
    点评：熟练掌握向量的数量积运算及其投影的意义、圆的标准方程、模的计算公式等是解题的关键．
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    4
    5
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    3
    5
    ）x+（
    4
    5
    ）x，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集为
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    1
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