Question

已知长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=4，AA₁=8，E、F分别为AD和CC₁的中点，O₁为下底面正方形的中心。

    （Ⅰ）证明：AF⊥平面FD₁B₁；

（Ⅱ）求异面直线EB与O₁F所成角的余弦值；               

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）

解析:

本题考查空间的线面关系，向量法及其运算。

（Ⅰ）证法一：如图建立空间直角坐标系。则D₁（0，0，0）、O₁（2，2，0）

B₁（4，4，0）、E（2，0，8）、A（4，0，8）、B（4，4，8）、

F（0，4，4）。            

=（-4，4，-4），=（0，4，4），

=（-4，0，4）          

=0+16-16=0，=16+0-16=0

∴AF⊥平面FD₁B₁.            

证法二：连结BF、DF，则BF是AF在面BC₁上的射影，易证得BF⊥B₁F，

DF是AF在面DC₁上的射影，也易证得DF⊥D₁F，所

以AF⊥平面FD₁B₁.

（Ⅱ）解法一：=（2，4，0），=（-2，2，4）  

设与的夹角为，则

=……

解法二：在B₁C₁上取点H，使B₁H=1，连O₁H和FH。

易证明O₁H∥EB，则∠FO₁H为异面直线EB与F所成角。

又O₁H=BE=，HF==5，

O₁F==2，

∴在△O₁HF中，由余弦定理，得

cos∠FO₁H==