Question

2．正项数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}{a}_{n+2}}$=1（n∈N^*），则前2015项的和S₂₀₁₅=（　　）

• A． 4026
• B． 4027
• C． 4028
• D． 4029

Answer 1

分析 由正项数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}{a}_{n+2}}$=1（n∈N^*），可得a_n+3=a_n．即可得出．

解答 解：∵正项数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}{a}_{n+2}}$=1（n∈N^*），
∴a₃=3，a₄=1，a₅=2，…，
∴a_n+3=a_n．
则前2015项的和S₂₀₁₅=S_671×3+2=（1+2+3）×671+（1+2）
=4029．
故选：D．

点评 本题考查了数列的周期性、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．