Question

在直平行六面体AC₁中，ABCD是菱形，∠DAB=60°，AC∩BD=O，AB=AA₁．
（1）求证：C₁O∥平面AB₁D₁；
（2）求证：平面AB₁D₁⊥平面ACC₁A₁；
（3）求直线AC与平面AB₁D₁所成角的正弦值．
★你能同时用好“由因导果和执果索因”的证明吗？

Answer 1

【答案】分析：（1）连接A₁C₁交B₁D₁于O₁，连接AO₁，通过证得四边形AOC₁O₁为平行四边形，得出C₁O∥AO₁ 后即可证明C₁O∥面AB₁D_1．
（2）根据四边形A₁B₁C₁D₁为菱形，得出B₁D₁⊥A₁C₁，易证A₁A⊥B₁D₁，所以B₁D₁⊥平面ACC₁A₁，从而证明平面AB₁D₁⊥平面ACC₁A_1．
（3）过C作CH⊥AO₁交AO₁于H．CH⊥平面AB₁D₁ ．∠CAH是AC与平面AB₁D₁ 所成的角，在△CAH 中求解即可．
解答：证明：（1）连接A₁C₁交B₁D₁于O₁，连接AO₁．
在平行四边形AA₁C₁C中，C₁O₁∥AO，，C₁O₁=AO，
∴四边形AOC₁O₁为平行四边形．∴C₁O∥AO₁ ．-----3分
又∵C₁O?面AB₁D₁ ，AO₁?面AB₁D₁ -------4分
∴C₁O∥面AB₁D₁---------------------------------------5分
（2）在直平行六面体AC1中，A₁A⊥平面A₁B₁C₁D₁
∴A₁A⊥B₁D₁，
∵四边形A₁B₁C₁D₁为菱形，∴B₁D₁⊥A₁C₁．--------------------------------------------7分
∵A₁C₁∩AA₁=A₁，A₁C₁?平面ACC₁A₁，，--------------9分
∴B₁D₁⊥平面ACC₁A₁ ．
∵B₁D₁?平面AB₁D₁∴平面AB₁D₁⊥平面ACC₁A₁ ．-------------------------------10分
（3）过C作CH⊥AO₁交AO₁于H．
∵平面AB₁D₁⊥平面ACC₁A₁ ，平面AB₁D₁∩平面ACC₁A₁=AO₁ ，
∴CH⊥平面AB₁D₁ ．∴AH为AC在平面AB₁D₁ 上的射影．
∴∠CAH是AC与平面AB₁D₁ 所成的角．----------------11分
设AB=2，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，
∴AC=2．-------------------------------12分
在Rt△AA₁O₁中，AO₁=
∵AO₁•CH=AC•OO₁，∴CH=∴sin∠CAH==．---14分
点评：本题主要考查空间角，距离的计算，线面垂直，面面垂直的定义，性质、判定，考查了空间想象能力、计算能力，分析解决问题能力．空间问题平面化是解决空间几何体问题最主要的思想方法．