Question

集合A是由具备下列性质的函数f（x）组成的：
①函数f（x）的定义域是[0，+∞）；
②函数f（x）的值域是[-2，4）；
③函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，分别探究下列小题：
（1）判断函数f₁（x）=

x

-2（x≥0）及f₂（x）=4-6•（

1

2

）^x（x≥0）是否属于集合A？并简要说明理由；
（2）对于（1）中你认为属于集合A的函数f（x），不等式f（x）+f（x+2）＜2f（x+1）是否对于任意的x≥0恒成立？若不成立，为什么？若成立，请说明你的结论．
（3）g（x）=x+2a f₁（x）求g（x）的最小值用a表示．

Answer 1

分析：（1）由题意得函数f₁（x）的值域[-2，+∞），排除f₁（x），判定f₂（x）的定义域、值域和单调性是否满足条件，从而得答案；
（2）由（1）知f₂（x）属于集合A．原不等式化为含有x的不等式，整理即可判断；
（3）由f₁（x），求出g（x）的解析式，讨论a的值，求出g（x）的最小值．

解答：解：（1）∵函数f₁（x）=

x

-2（x≥0），它的值域是[-2，+∞），∴f₁（x）∉A；
对于f₂（x）=4-6•(

1

2

)x（x≥0），定义域为[0，+∞），满足条件①；
当x≥0时，(

1

2

)x∈（0，1]，
∴4-6•(

1

2

)x∈[-2，4），满足条件②；
又∵x≥0时，y=(

1

2

)x是减函数，
∴f₂（x）=4-6•(

1

2

)x是增函数，满足条件③；
∴f₂（x）属于集合A．
（2）f₂（x）属于集合A，原不等式可化为4-6•(

1

2

)x+4-6•(

1

2

)x+2＜2[4-6•(

1

2

)x+1]对任意x≥0总成立；
证明：由（1）知，f₂（x）属于集合A．
∴原不等式化为4-6•(

1

2

)x+4-6•(

1

2

)x+2＜2[4-6•(

1

2

)x+1]，
整理为：-

3

2

•(

1

2

)x＜0；
∵对任意x≥0，(

1

2

)x＞0恒成立，
∴原不等式对任意x≥0总成立．
（3）∵函数f₁（x）=

x

-2（x≥0），
∴g（x）=x+2a f₁（x）=x+2a（

x

-2）=x+2a

x

-4a=(

x

+a)2-4a-a²；
当a≥0时，g（x）_min=g（0）=-4a，
当a＜0时，g（x）_min=g（a²）=-4a-a²；
∴g（x）的最小值是g（x）_min=

-4a…(a≥0) -4a-a2…(a＜0)

．

点评：本题以新定义为载体，综合考查函数的定义域、值域、复合函数的单调性与最值问题，是易错题．