Question

12．不等式|x|³-2x²+1＜0的解集为$（{-\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}，-1}）∪（{1，\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}}）$．

Answer 1

分析 不等式即（|x|-1）（|x|²-|x|-1）＜0，可得 $\left\{\begin{array}{l}{|x|-1＜0}\\{{|x|}^{2}-|x|-1＞0}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{|x|-1＞0}\\{{|x|}^{2}-|x|-1＜0}\end{array}\right.$②．分别求得①②的解集，再取并集，即得所求．

解答 解：不等式|x|³-2x²+1＜0，即|x|³-|x|² -|x|²+1＜0，即|x|²•（|x|-1）-（|x|+1）（|x|-1）＜0，
即 （|x|-1）（|x|²-|x|-1）＜0，∴$\left\{\begin{array}{l}{|x|-1＜0}\\{{|x|}^{2}-|x|-1＞0}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{|x|-1＞0}\\{{|x|}^{2}-|x|-1＜0}\end{array}\right.$②．
解求得|x|＜$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（舍去），解②求得1＜|x|＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
故不等式的解集为1＜x＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 或-$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$＜x＜-1，
故答案为：$（{-\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}，-1}）∪（{1，\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}}）$．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．