Question

已知函数f（x）=

3

cos²ωx+sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求f（

π

6

）的值；
（Ⅱ）求f（x）在闭区间[-

π

3

，

π

3

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的最值

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ首先通过函数关系式的恒等变换求出函数的正弦形式，进一步利用函数的周期确定函数的解析式．
（Ⅱ）进一步利用函数的单调性确定函数的最值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

3

cos²ωx+sinωxcosωx
=

3

2

(cos2ωx+1)+

1

2

sin2ωx
=sin(2ωx+

π

3

)+

3

2

由于：T=

2π

2ω

=π
所以：ω=1
则：f（x）=sin(2x+

π

3

)+

3

2

f（

π

6

）=sin

2π

3

+

3

2

=

3

（Ⅱ）根据函数解析式得到在区间[-

π

3

，

π

12

]上函数单调递增，在[

π

12

，

π

3

]上函数单调递减，
所以：f(-

π

3

)=0．，f(

π

12

)=1+

3

2

，f(

π

3

)=

3

2

所以：f（x）在闭区间[-

π

3

，

π

3

]上的最大值为：1+

3

2

最小值为：0．

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用函数的周期确定函数的解析式，进一步利用函数的单调性确定函数的最值．属于基础题型．