Question

如图所示在△ABC中，D在边BC上，且BD=2，DC=1，∠B=60°，∠ADB=30°，求AC的长及△ABC的面积．

Answer 1

分析：有三角形内角和定理求得∠BAD，由直角三角形中的边角关系求出AD，余弦定理求得AC，由S△ABC=

1

2

AB•BC•sin∠B求出△ABC的面积．

解答：解：在△ABD中，∠BAD=180°-∠B-∠ADB=90°，∴AB=BDsin30°=1，AD=BDcos30°=

3

，
在△ADC中，∠ADC=180°-∠ADB=150°，
由余弦定理，可知：AC=

AD2+DC2-2AD•DC•cos∠ADC

=

3+1-2× 3 ×1•cos150°

=

7

．
在△ABC中，由正弦定理，可知：S△ABC=

1

2

AB•BC•sin∠B=

1

2

×1×(1+2)•sin60°=

3 3

4

．

点评：本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，直角三角形中的边角关系，求出AD和∠ADC是解题的关键．