【题目】某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况,随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它们的质量(单位:毫克),质量值落在的产品为合格品,否则为不合格品.如表是甲流水线样本频数分布表,如图是乙流水线样本的频率分布直方图.
产品质量/毫克 | 频数 |
3 | |
9 | |
19 | |
35 | |
22 | |
7 | |
5 |
(1)由以上统计数据完成下面列联表,能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关?
甲流水线 | 乙流水线 | 总计 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
总计 |
附表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:,
)
(2)按照以往经验,在每小时次品数超过180件时,产品的次品率会大幅度增加,为检测公司的生产能力,同时尽可能控制不合格品总量,公司工程师抽取几组一小时生产产品数据进行次品情况检查分析,在(单位:百件)件产品中,得到次品数量
(单位:件)的情况汇总如下表所示:
| 0.5 | 2 | 3.5 | 4 | 5 |
| 2 | 14 | 24 | 35 | 40 |
根据公司规定,在一小时内不允许次品数超过180件,请通过计算分析,按照公司的现有生产技术设备情况,判断可否安排一小时生产2000件的任务?
(参考公式:用最小二乘法求线性回方程的系数公式
;
)
【答案】(1)详见解析;(2)可以安排一小时生产2000件的任务.
【解析】
(1)根据题干补全列联表,由卡方公式计算得到卡方值,从而进行判断;(2)根据公式得到线性回归方程,将x=20百件时代入方程,进行判断可得到结果.
(1)由乙流水线样本的频率分布直方图可知,合格品的个数为,
所以,列联表是:
甲流水线 | 乙流水线 | 总计 | |
合格品 | 92 | 96 | 188 |
不合格品 | 8 | 4 | 12 |
总计 | 100 | 100 | 200 |
所以
.
所以,在犯错误的概率不超过0.15的前提下,不能认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关.
(2)由已知可得:;
;
;
.
由回归直线的系数公式,
.
.
所以.
当(百件)时,
,符合有关要求.
所以按照公司的现有生产技术设备情况,可以安排一小时生产2000件的任务.
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【题目】一次足球邀请赛共安排了支球队参加,每支球队预定的比赛场数分别是
,
,…,
.若任两支球队之间至多安排了一场比赛,则称
是一个“有效安排”.证明:若
是一个有效安排,且
,则可去掉一支球队,并重新调整各队之间的对局情况,使
也是一个有效安排.
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【题目】出租车几何学是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创立的.在出租车几何学中,点还是形如的有序实数对,直线还是满足
的所有
组成的图形,角度大小的定义也和原来一样.直角坐标系内任意两点
,
,定义它们之间的一种“距离”:
;到两点P.Q“距离”相等的点的轨迹称为线段PQ的“垂直平分线”.已知点
、
、
,请解决以下问题:
(1)求线段上一点
到原点
的“距离”;
(2)写出线段AB的“垂直平分线”的轨迹方程,并作出大致图像;
(3)定义:若三角形三边的“垂直平分线”交于一点,则该点称为三角形的“外心”.试判断 的“外心”是否存在,如果存在,求出“外心”;如果不存在,说明理由.
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【题目】椭圆的离心率是
,过点
的动直线
与椭圆相交于
两点,当直线
与
轴平行时,直线
被椭圆
截得的线段长为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)在轴上是否存在异于点
的定点
,使得直线
变化时,总有
?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知点与点
在直线
的两侧,给出以下结论:①
;②当
时,
有最小值,无最大值;③
;④当
且
时,
的取值范围是
,正确的个数为( )
A.1个B.2个C.3个D.以上都不对
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【题目】已知函数,
(
为常数,且
).
(1)若当时,函数
与
的图象有且只要一个交点,试确定自然数
的值,使得
(参考数值
,
,
,
);
(2)当时,证明:
(其中
为自然对数的底数).
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