Question

9．已知离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$的椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）和直线l：$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{2}$y+6=0，其中椭圆C经过点（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），点P是椭圆C上一动点，直线l与两坐标轴的交点分别为A，B．
（1）求与椭圆C相切平行于直线l的直线方程；
（2）求△PAB面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）由离心率公式和a，b，c的关系，结合点在椭圆上，满足椭圆方程，解方程可得a，b，c，进而得到椭圆方程，设出与直线l平行的直线方程，联立椭圆方程，运用判别式为0，即可得到所求直线方程；
（2）运用两直线平行的距离公式和三角形的面积公式计算即可得到所求面积的最小值．

解答 解：（1）e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，a²-b²=c²，
又椭圆C经过点（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），即有$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{3{b}^{2}}$=1，
解得a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，c=1，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
设与椭圆C相切平行于直线l的直线方程为$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{2}$y+t=0，
联立椭圆方程，可得25y²+8$\sqrt{2}$ty+2t²-18=0，
由判别式为0，即128t²-100（2t²-18）=0，
解得t=±5，
则所求直线方程为$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{2}$y+5=0，或$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{2}$y-5=0；
（2）直线l与两坐标轴的交点分别为A（0，-$\frac{3}{\sqrt{2}}$），B（-$\frac{6}{\sqrt{3}}$，0），
则|AB|=$\sqrt{\frac{9}{2}+\frac{36}{3}}$=$\frac{\sqrt{33}}{\sqrt{2}}$，
由（1）可得直线$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{2}$y+5=0与$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{2}$y+6=0的距离为
d=$\frac{|6-5|}{\sqrt{3+8}}$=$\frac{1}{\sqrt{11}}$，即为P到直线l的距离的最小值，
则△PAB面积的最小值为$\frac{1}{2}$d•|AB|=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{\sqrt{11}}$×$\frac{\sqrt{33}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率公式的运用，考查直线和椭圆相切的条件，考查两直线平行的距离公式的运用，属于中档题．