Question

已知P为椭圆和双曲线的一个交点，F₁，F₂为椭圆的焦点，那么∠F₁PF₂的余弦值为    ．

Answer 1

【答案】分析：由椭圆和双曲线方程，可知两条圆锥曲线共焦点，P为椭圆与双曲线的交点，根据椭圆与双曲线的定义，可求出P到
F₁，F₂距离，在三角形PF₁F₂中，应用余弦定理，就可求出∠F₁PF₂的余弦值．
解答：解：∵椭圆，∴椭圆中c=，
∵双曲线，∴双曲线中c=，∴椭圆与双曲线共焦点，
∵P为椭圆和双曲线的一个交点，不妨设P点在双曲线右支上，
∴|PF₁|+|PF₂|=4，|PF₁|-|PF₂|=2，∴∴|PF₁|=3，∴|PF₂|=1，|F₁F₂|=2
在△F₁PF₂中，cos∠F₁PF₂==-
故答案为-
点评：本题主要考查了椭圆与双曲线的定义和性质，以及焦点三角形中，余弦定理的考查，属于常规题．