Question

已知函数f（x）=x²-ax+a（a∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0 的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．设数列{a_n}的前n项和为S_n=f（n）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设各项均不为零的数列{c_n}中，所有满足c_i-c_i+1＜0的正整数i的个数称为这个数列{c_n}的变号数，令c_n=1-

a

an

（n为正整数），求数列{c_n}的变号数．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）≤0的解集有且只有一个元素，可得△等于0，从而可求a的值，即可求出函数解析式，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2））根据c_n=1-

a

an

，可得cn=

-3，n=1 1- 4 2n-5 ，n≥2

，验证n≥3时，数列{c_n}递增，确定n≥3时，有且只有1个变号数；判断n≤2时变号数有2个，最后综合答案可得．

解答：解：（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一个元素，
∴△=a²-4a=0
∴a=0或4，
当a=0时，函数f（x）=x²在（0，+∞）上递增，故不存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立；
当a=4时，函数f（x）=x²-4x+4在（0，2）上递减，故存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
综上，得a=4，f（x）=x²-4x+4，∴S_n=n²-4n+4
n≥2 时，a_n=S_n-S_n-1=2n-5，n=1 时，a₁=1
∴a_n=

1，n=1 2n-5，n≥2

（2）∵c_n=1-

a

an

，
∴cn=

-3，n=1 1- 4 2n-5 ，n≥2

∵n≥3时，C_n+1-C_n=

4

2n-5

-

4

2n-3

=

8

(2n-5)(2n-3)

＞0，
∴n≥3时，数列{c_n}递增，
∵a₄=-

1

3

＜0，由1-

4

2n-5

＞0
n≥5，可知a₄-a₅＜0，即n≥3时，有且只有1个变号数；
又∵C₁=-3，C₂=-5，C₃=-3，即C₁-C₂＜0，C₂-C₃＜0，
∴此处变号数有2个．
综上得数列共有3个变号数，即变号数为3．

点评：本题考查数列与函数的综合，考查数列的通项，考查新定义，解题的关键是理解新定义，判断数列的单调性，从而确定数列的变号数．