Question

17．如图，在水平放置的直径与高相等的圆柱内，放入两个半径相等的小球（球A和球B），圆柱的底面直径为2+$\sqrt{2}$，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球B
（Ⅰ）求球A的体积；
（Ⅱ）求圆柱的侧面积与球B的表面积之比．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设圆柱的半径为R，小球的半径为r，且r＜R，利用勾股定理可求出r的值，进而得到球A的体积；
（Ⅱ）分别求出球的表面积和圆柱的侧面积，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）设圆柱的半径为R，小球的半径为r，且r＜R
由圆柱与球的性质知AB²=（2r）²=（2R-2r）²+（2R-2r）²，
即r²-4Rr+2R²=0，
∵r＜R，
∴$r=（2-\sqrt{2}）R=（2-\sqrt{2}）\frac{{2+\sqrt{2}}}{2}=1$
∴球A的体积$V=\frac{4}{3}π{r^3}=\frac{4}{3}π$…（6分）
（Ⅱ）球B的表面积${S_{球B}}=4π{r^2}=4πr$
圆柱的侧面积${S_{圆柱}}=2πR•2R=4π{R^2}=（6+4\sqrt{2}）π$
∴圆柱的侧面积与球B的表面积之比为$\frac{{3+2\sqrt{2}}}{2}$．              …（6分）

点评 本题考查的知识点是旋转体，球的体积与表面积公式，圆柱的侧面积公式，其中求出球的半径r是解答的关键．