Question

6．已知二项式 （1+2x）¹⁰⁰的展开式为a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₁₀₀x¹⁰⁰，则log₂（a₀+$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{100}}{{2}^{100}}$）=100．

Answer 1

分析 令x=$\frac{1}{2}$，求得a₀+$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{100}}{{2}^{100}}$=2¹⁰⁰ ，可得log₂（a₀+$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{100}}{{2}^{100}}$）=${{log}_{2}2}^{100}$ 的值．

解答 解：令x=$\frac{1}{2}$，求得a₀+$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{100}}{{2}^{100}}$=2¹⁰⁰ ，∴log₂（a₀+$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{100}}{{2}^{100}}$）=${{log}_{2}2}^{100}$=100，
故答案为：100．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．