Question

已知P（m，1）为抛物线C：x²=2ay（a＞0）上一点，点P到抛物线焦点的距离为

5

4

．
（Ⅰ）求m，a的值；
（Ⅱ）设抛物线上一点B的横坐标为t（t＞0），过B的直线交曲线C于另一点A，交x轴于N，过点A作AB的垂线交曲线C于D，连接DB交y于M，若直线MN的斜率是AB斜率的-

1

2

倍，求t的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据抛物线的定义利用点P（m，1）到其焦点的距离求得a，抛物线方程可得，进而把点P代入求得m．
（Ⅱ）由B（t，t²），设直线AB的方程为：y-t²=k（x-t），把直线AB的方程y-t²=k（x-t）代入抛物线x²=y，解得A（k-t，（k-t）²），由AD⊥AB，设直线AD的方程为y-(k-t)2=-

1

k

(x-k+t)，把y-(k-t)2=-

1

k

(x-k+t)代入代入抛物线x²=y，解得xD=t-(k+

1

k

)，由B（t，t²），D（t-（k+

1

k

），[t-（k+

1

k

）]²），则BD的方程为：

y-t2

x-t

=

[t-(k+ 1 k )]2-t2

-(k+ 1 k )

=2t-（k+

1

k

），令x=0，得到BD与y轴的交点坐标M（0，t（k+

1

k

）-t²），由此能求出利用直线MN的斜率是AB斜率的-

1

2

倍，能求出t的最小值．

解答：解：（Ⅰ）根据抛物线定义，∵P到抛物线焦点的距离为

5

4

．
∴P（m，1）到抛物线准线y=-

a

2

的距离为

5

4

．
∴1+

a

2

=

5

4

，解得a=

1

2

，
∴抛物线方程为x²=y，
将P（m，1）代入x²=y，
解得m=±1．
（Ⅱ）∵B的横坐标为t（t＞0），∴B（t，t²），
设直线AB的方程为：y-t²=k（x-t），
把直线AB的方程y-t²=k（x-t）代入抛物线x²=y，并整理，得
x²-kx+kt-t²=0，
解得x=k-t，或x=t（舍）
∴A（k-t，（k-t）²），
∵AD⊥AB，
∴直线AD的方程为y-(k-t)2=-

1

k

(x-k+t)，
把y-(k-t)2=-

1

k

(x-k+t)代入代入抛物线x²=y，并整理，得
kx²+x-（k-t）（1+k²-kt）=0，
解得xD=t-(k+

1

k

)，或x_D=k-t（舍）
∵B（t，t²），D（t-（k+

1

k

），[t-（k+

1

k

）]²），
∴BD的方程为：

y-t2

x-t

=

[t-(k+ 1 k )]2-t2

-(k+ 1 k )

=2t-（k+

1

k

），
令x=0，得到BD与y轴的交点坐标M（0，t（k+

1

k

）-t²），
在直线AB的方程y-t²=k（x-t）中，
令y=0，得到直线AB与x轴的交点N（t-

t2

k

，0），
∴直线MN的斜率k_MN=

t(k+ 1 k )-t2-0

0-t+ t2 k

=

k2-kt+1

t-k

．
∵直线AB的斜率是k，且直线MN的斜率是AB斜率的-

1

2

倍，
∴

k2-kt+1

t-k

=-

k

2

，
整理，得k²-kt+2=0，
∴t=k+

2

k

，
由题设条件知k＞0，
∴t=k+

2

k

≥2

k• 2 k

=2

2

．
当且仅当k=

2

k

，即k=

2

时，tmin=2

2

．

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意培养计算能力．