Question

定义一个“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的积都是同一常数，那么这个数列叫“等积数列”，这个常数叫做这个数列的公积．已知数列{a_n}是等积数列，且a₁=2，公积为5，则这个数列的前n项和S_n的计算公式为：

 

．

Answer 1

分析：根据题意列出a_na_n+1=5（n∈N₊），求出数列{a_n}的通项公式，再求该数列的前n项和．

解答：解：由题意得，a_na_n+1=5（n∈N₊），且a₁=2
∴a₂=

5

2

，a₃=2，a₄=

5

2

，a₅=2，a₆=

5

2

，
∴a_n=

2  n为正奇数 5 2  n为正偶数

当n是偶数时，数列的奇数项数和偶数项数都是

n

2

，
则数列的前n项和Sn=

n

2

×2+

n

2

×

5

2

=

9n

4

，
当n是奇数时，数列的奇数项数是

n+1

2

，偶数项数是

n-1

2

，
则数列的前n项和Sn=

n+1

2

×2+

n-1

2

×

5

2

=

9n-1

4

故答案为：Sn=

9n 4 n是正偶数 9n-1 4 n是正奇数

点评：此题的思想方法要抓住给出的信息，观察数列的规律，总结出项数与项之间的关系，求出通项公式，求数列前n项和时需要分类讨论，一定清楚奇数项数与偶数项数，否则容易出错．