Question

已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x-4）=-f（x）且在区间[0，4]上是增函数则（　　）

A．f（15）＜f（0）＜f（-5）

B．f（0）＜f（15）＜f（-5）

C．f（-5）＜f（15）＜f（0）

D．f（-5）＜f（0）＜f（15）

Answer 1

分析：根据f（x-4）=-f（x），可以确定函数f（x）的周期为8，再利用周期8和偶函数两个条件，将f（15）和f（-5）转化为f（1）和f（3），利用函数f（x）在[0，4]上是增函数，即可得到f（0），f（1），f（3）的大小关系，从而得到f（0），f（15），f（-5）的大小关系．

解答：解：∵f（x-4）=-f（x），
即f（x）=-f（x-4），
∴f（x+4）=-f（x），
∴f（x+8）=-f（x+4）=f（x），
∴f（x）是周期函数，且周期为8，
∴f（15）=f（15-2×8）=f（-1），
f（-5）=f（-5+8）=f（3），
∵f（x）为R上的偶函数，
∴f（-1）=f（1），
∵f（x）在区间[0，4]上是增函数，
∴f（0）＜f（1）＜f（3），
∴f（0）＜f（15）＜f（-5）．
故选：B．

点评：本题考查了抽象函数及其应用，函数单调性的性质，函数奇偶性的性质．奇偶性的判断一般应用奇偶性的定义和图象，要注意先考虑函数的定义域是否关于原点对称．函数单调性的证明一般选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．解决抽象函数的函数值的问题一般会利用赋值法求解，本题属于函数知识的综合应用．属于中档题．