Question

17．已知数列{a_n}满足a_n+1=a_n+2（n∈N₊）且a₁，a₃，a₇成等比．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）设数列{b_n}满足b_n+1-b_n=a_n（n∈N₊）且b₁=2，求数列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$得前n项的和．

Answer 1

分析 （1）通过a_n+1=a_n+2（n∈N₊）易知数列{a_n}为公差d=2的等差数列，利用a₁，a₃，a₇成等比计算可知a₁=4，进而可得结论；
（2）通过（1）可知b_n+1-b_n=2n+2（n∈N₊），进而b_n-b_n-1=2n（n≥2，且n∈N₊）、b_n-1-b_n-2=2n-2、…、b₂-b₁=4，累加、裂项可知$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，进而并项相加即得结论．

解答 解：（1）∵a_n+1=a_n+2（n∈N₊），
∴数列{a_n}为公差d=2的等差数列，
又∵a₁，a₃，a₇成等比，
∴${（{a_1}+4）^2}={a_1}•（{a_1}+12）$，
解得a₁=4，
∴a_n=2n+2；
（2）由（1）可知b_n+1-b_n=2n+2（n∈N₊），
∴b_n-b_n-1=2n（n≥2，且n∈N₊），
b_n-1-b_n-2=2n-2，
…
b₂-b₁=4，
累加得：b_n-b₁=2•$\frac{（n-1）（2+n）}{2}$，
又∵b₁=2，
∴b_n=n（n+1），
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
于是数列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$得前n项的和为1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，利用累加法及裂项相消法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．