定义在R上的函数及二次函数满足:且。
(1)求和的解析式;
(2);
(3)设,讨论方程的解的个数情况.
(1),(2),(3)当时,方程有个解;
当时,方程有个解;当时,方程有个解;当时,方程有个解.
【解析】
试题分析:(1)求函数解析式有不同的方法.满足可利用方程组求解,由解得: ,而为二次函数,其解析式应用待定系数法求解可设,再根据三个条件且,列三个方程组解得,(2)不等式恒成立问题常转化为最值问题,本题转化为左边最小值不小于右边最大值,右边函数无参数,先根据导数求出其最大值,这样就转化为二次函数恒不小于零的问题,利用实根分布可得到充要条件所以(3)研究解的个数问题,需先研究函数图像,解方程,实际有两层,由解得;再由得两个解,由得三个解,结合这些解的大小,可得到原方程解得情况.
试题解析:(1) ,①
即②
由①②联立解得: . 2分
是二次函数, 且,可设,
由,解得.
. 4分
(2)设,
,
依题意知:当时,
,在上单调递减,
6分
在上单调递增,
解得:
实数的取值范围为. 9分
(3)设,由(2)知,
的图象如图所示:
设,则
当,即时, ,有两个解, 有个解;
当,即时, 且,
有个解; 2分
当,即时, ,有个解;
当,即时, ,有个解. 13分
综上所述:
当时,方程有个解;
当时,方程有个解;
当时,方程有个解;
当时,方程有个解. 14分
考点:函数解析式的多种求法,不等式恒成立问题转化,函数与方程
科目:高中数学 来源: 题型:
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年湖北省八市高三下学期3月联考理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
定义在R上的函数及二次函数满足:且。
(1)求和的解析式;
(2);
(3)设,讨论方程的解的个数情况.
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