Question

设函数f（x）=lnx-

1

2

ax²-bx．
（Ⅰ）当a=b=

1

2

时，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）+

1

2

ax²+bx+

a

x

（0＜x≤3），以其图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤

1

2

恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a=0，b=-1时，方程2mf（x）=x²有唯一实数解，求正数m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求定义域，再研究单调性，从而求最值．
（Ⅱ）先构造函数F（x）再由以其图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤

1

2

恒成立，知导函数≤

1

2

恒成立，再转化为所以a≥(-

1

2

x02+x0)max求解．
（Ⅲ）先把程2mf（x）=x²有唯一实数解，转化为所以x²-2mlnx-2mx=0有唯一实数解，再利用单调函数求解．

解答：解：（Ⅰ）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞）．（1分）
当a=b=

1

2

时，f(x)=lnx-

1

4

x2-

1

2

x，
f′(x)=

1

x

-

1

2

x-

1

2

=

-(x+2)(x-1)

2x

．（2分）
令f′（x）=0，解得x=1．
当0＜x＜1时，f′（x）＞，此时f（x）单调递增；
当x＞1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减．（3分）
所以f（x）的极大值为f(1)=-

3

4

，此即为最大值．（4分）
（Ⅱ）F(x)=lnx+

a

x

，x∈(0，3]，
所以k=F′(x0)=

x0-a

x02

≤

1

2

，在x₀∈（0，3]上恒成立，（6分）
所以a≥(-

1

2

x02+x0)max，x₀∈（0，3]（7分）
当x₀=1时，-

1

2

 x02 +x0取得最大值

1

2

．所以a≥

1

2

．（9分）
（Ⅲ）因为方程2mf（x）=x²有唯一实数解，
所以x²-2mlnx-2mx=0有唯一实数解．
设g（x）=x²-2mlnx-2mx，则g′(x)=

2x2-2mx-2m

x

．
令g′（x）=0，得x²-mx-m=0．
因为m＞0，x＞0，
所以x1=

m- m2+4m

2

＜0（舍去），x2=

m+ m2+4m?

2

，（10分）
当x∈（0，x₂）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）单调递减，
当x∈（x₂，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）单调递增．
当x=x₂时，g′（x₂）=0g（x），g（x₂）取最小值g（x₂）．（11分）
因为g（x）=0有唯一解，所以g（x₂）=0．
则

g(x2)=0 g′(x2)=0

，即

x22-2mlnx2-2mx2=0 x22-mx2-m =0

所以2mlnx₂+mx₂-m=0，
因为m＞0，所以2lnx₂+x₂-1=0．（12分）
设函数h（x）=2lnx+x-1，
因为当x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．（13分）
因为h（I）=0，所以方程的解为（X₂）=1，即

m+ m2+4m

2

=1，
解得m=

1

2

（14分）

点评：本题主要考查函数的单调性、极值、最值、不等式、方程的解等基本知识，同时考查运用导数研究函数性质的方法，分类与整合及化归与转化等数学思想．