Question

3．定义R上的函数f（x）对任意x、y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）+k（k为常数）．
（1）判断k为何值时，函数f（x）在R上为奇函数，并证明之；
（2）设k=1，f（x）是R上的增函数，f（4）=7，若不等式f（a•2^x+2+3×4^x+18）≥3对x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据定义在R上的奇函数的性质，有f（0）=0，求得k的值，再根据f（x+y）=f（x）+f（y）+k，取y=-x，即可得到f（-x）与f（x）之间的关系，根据奇函数的定义，即可证得结论；
（2）将k=1代入恒等式可得f（x+y）=f（x）+f（y）+1，再利用恒等式进行赋值，将3转化为f（2），再根据f（x）的单调性去掉“f”，转化为a•2^x+2+3×4^x+18≥2对x∈[1，2]恒成立，分离参数a，利用基本不等式求得函数最值后即可得到实数a的取值范围．

解答 解：（1）若f（x）在R上为奇函数，则f（0）=0，
∵函数f（x）对任意x、y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）+k，
∴令x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）+k，
∴k=0，
下证明函数是奇函数
∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x），
又f（0）=0，
∴0=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x）对任意x∈R成立，
∴f（x）为奇函数；
（2）∵k=1，
∴f（x+y）=f（x）+f（y）+1，
∴f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）+1=7，即2f（2）=6，
∴f（2）=3，
∵f（a•2^x+2+3×4^x+18）≥3对x∈[1，2]恒成立，
∴f（a•2^x+2+3×4^x+18）≥f（2）对x∈[1，2]恒成立，
又∵f（x）是R上的增函数，
∴a•2^x+2+3×4^x+18≥2对x∈[1，2]恒成立，
∴$a≥\frac{-3×{4}^{x}-16}{{2}^{x+2}}=-（\frac{3}{4}×{2}^{x}+\frac{4}{{2}^{x}}）$对x∈[1，2]恒成立，
∵x∈[1，2]，∴2^x∈[2，4]，
则$-（\frac{3}{4}×{2}^{x}+\frac{4}{{2}^{x}}）≤-2\sqrt{3}$，
故$a≥-2\sqrt{3}$．

点评 本题考查了函数奇偶性的判断与证明，函数的恒成立问题，以及抽象函数及其应用．奇偶性的判断一般应用奇偶性的定义和图象，要注意先考虑函数的定义域是否关于原点对称．对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．属于中档题．