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已知直线y=-2上有一个动点Q,过点Q作直线l1垂直于x轴,动点P在l1上,且满足OP⊥OQ(O为坐标原点),记点P的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程;
(2)若直线l2是曲线C的一条切线,当点(0,2)到直线l2的距离最短时,求直线l2的方程.
【答案】分析:(1)先设P点坐标,进而得出Q点坐标,再根据OP⊥OQ⇒kOP•kOQ=-1,求出曲线方程;
(2)设出直线直线l2的方程,然后与曲线方程联立,由于直线l2与曲线C相切,得出二次函数有两个相等实根,求出,再由点到直线距离公式表示出d,根据a+b≥2,求得b的值,即可得到直线方程.
解答:解:(1)设点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(x,-2).
∵OP⊥OQ,∴kOP•kOQ=-1.
当x≠0时,得,化简得x2=2y.(2分)
当x=0时,P、O、Q三点共线,不符合题意,故x≠0.
∴曲线C的方程为x2=2y(x≠0).(4分)
(2)∵直线l2与曲线C相切,∴直线l2的斜率存在.
设直线l2的方程为y=kx+b,(5分)
得x2-2kx-2b=0.
∵直线l2与曲线C相切,
∴△=4k2+8b=0,即.(6分)
点(0,2)到直线l2的距离=(7分)=(8分)(9分)=.(10分)
当且仅当,即时,等号成立.此时b=-1.(12分)
∴直线l2的方程为.(14分)
点评:本题考查了抛物线和直线的方程以及二次函数的根的个数,对于(2)问关键是利用了a+b≥2,求出b的值.属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知直线y=-2上有一个动点Q,过点Q作直线l1垂直于x轴,动点P在l1上,且满足OP⊥OQ(O为坐标原点),记点P的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程;
(2)若直线l2是曲线C的一条切线,当点(0,2)到直线l2的距离最短时,求直线l2的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知直线y=-2上有一个动点Q,过Q作直线l垂直于x轴,动点P在直线l上,且
OP
OQ
,记点P的轨迹为C1
(1)求曲线C1的方程;
(2)设直线l与x轴交于点A,且
OB
=
PA
(
OB
≠0)
,试判断直线PB与曲线C1的位置关系,并证明你的结论;
(3)已知圆C2:x2+(y-a)2=2,若C1、C2在交点处的切线相互垂直,求a的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知直线y=-2上有一个动点Q,过Q作直线l垂直于x轴,动点P在直线l上,且,记点P的轨迹为C1.

(1)求曲线C1的方程.

(2)设直线l与x轴交于点A,且=(≠0).试判断直线PB与曲线C1的位置关系,并证明你的结论.

(3)已知圆C2:x2+(y-a)2=2,若C1、C2在交点处的切线互相垂直,求a的值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知直线y=-2上有一个动点Q,过Q作直线l垂直于x轴,动点P在直线l上,且
OP
OQ
,记点P的轨迹为C1
(1)求曲线C1的方程;
(2)设直线l与x轴交于点A,且
OB
=
PA
(
OB
≠0)
,试判断直线PB与曲线C1的位置关系,并证明你的结论;
(3)已知圆C2:x2+(y-a)2=2,若C1、C2在交点处的切线相互垂直,求a的值.

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科目:高中数学 来源:2011年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

已知直线y=-2上有一个动点Q,过点Q作直线l1垂直于x轴,动点P在l1上,且满足OP⊥OQ(O为坐标原点),记点P的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程;
(2)若直线l2是曲线C的一条切线,当点(0,2)到直线l2的距离最短时,求直线l2的方程.

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