Question

8．已知函数f（x）=2asin（ωx+φ+$\frac{π}{6}$），x∈R，其中（a≠0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$），若f（x）的图象相邻两最高点的距离为π，且有一个对称中心为（$\frac{π}{3}$，0）．
（1）求ω和φ的值；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）若a＞0，试讨论k为何值时，方程f（x）-k=0（x∈[0，a]）有解．

Answer 1

分析 （1）由已知及周期公式可求ω，又其图象的一个对称中心为$（\frac{π}{3}，0）$，可得$2×\frac{π}{3}+φ+\frac{π}{6}=kπ（k∈Z）$，结合范围$0＜φ＜\frac{π}{2}$解得φ的值．
（2）当a＞0时，由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$得f（x）单调增区间，当a＜0时，由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ$得f（x）单调增区间．
（3）分情况讨论：当$0＜a＜\frac{π}{12}$时，$\frac{π}{12}≤a≤\frac{π}{6}$时，$\frac{π}{6}＜a＜\frac{7π}{12}$时，$a≥\frac{7π}{12}$时，由x∈[0，a]得f（x）的最大值，最小值，要使方程f（x）-k=0（x∈[0，a]）有解，解相应不等式即可得解．

解答 （本小题满分14分）
解：（1）∵f（x）的图象相邻两最高点的距离为π，∴$T=\frac{2π}{ω}=π$，ω=2…（2分）
又其图象的一个对称中心为$（\frac{π}{3}，0）$，故$2×\frac{π}{3}+φ+\frac{π}{6}=kπ（k∈Z）$，
∴$φ=kπ-\frac{5π}{6}（k∈Z）$，由$0＜φ＜\frac{π}{2}$得$φ=\frac{π}{6}$…（4分）
（2）由（1）知$f（x）=2asin（2x+\frac{π}{3}）$
当a＞0时，由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$得f（x）单调增区间为$[-\frac{5π}{12}+kπ，\frac{π}{12}+kπ]$…（6分）
当a＜0时，由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ$得f（x）单调增区间为$[\frac{π}{12}+kπ，\frac{7π}{12}+kπ]$…（8分）
（3）当$0＜a＜\frac{π}{12}$时，由x∈[0，a]得$f{（x）_{max}}=f（a）=2asin（2a+\frac{π}{3}）$，$f{（x）_{min}}=f（0）=\sqrt{3}a$，…（9分）
当$\frac{π}{12}≤a≤\frac{π}{6}$时，由x∈[0，a]得$f{（x）_{max}}=f（\frac{π}{12}）=2a$，$f{（x）_{min}}=f（0）=\sqrt{3}a$，…（10分）
当$\frac{π}{6}＜a＜\frac{7π}{12}$时，由x∈[0，a]得$f{（x）_{max}}=f（\frac{π}{12}）=2a$，$f{（x）_{min}}=f（a）=2asin（2a+\frac{π}{3}）$，…（11分）
当$a≥\frac{7π}{12}$时，由x∈[0，a]得$f{（x）_{max}}=f（\frac{π}{12}）=2a$，$f{（x）_{min}}=f（\frac{7π}{12}）=-2a$，…（12分）
综上所述：要使方程f（x）-k=0（x∈[0，a]）有解，
当$0＜a＜\frac{π}{12}$时，$\sqrt{3}a≤k≤2asin（2a+\frac{π}{3}）$；
当$\frac{π}{12}≤a≤\frac{π}{6}$时，$\sqrt{3}a≤k≤2a$；  
当$\frac{π}{6}＜a＜\frac{7π}{12}$时，$2asin（2a+\frac{π}{3}）≤k≤2a$； 
当$a≥\frac{7π}{12}$时，-2a≤k≤2a…（14分）

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，函数的性质及应用，属于基本知识的考查．