分析 (1)由已知及周期公式可求ω,又其图象的一个对称中心为$(\frac{π}{3},0)$,可得$2×\frac{π}{3}+φ+\frac{π}{6}=kπ(k∈Z)$,结合范围$0<φ<\frac{π}{2}$解得φ的值.
(2)当a>0时,由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$得f(x)单调增区间,当a<0时,由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ$得f(x)单调增区间.
(3)分情况讨论:当$0<a<\frac{π}{12}$时,$\frac{π}{12}≤a≤\frac{π}{6}$时,$\frac{π}{6}<a<\frac{7π}{12}$时,$a≥\frac{7π}{12}$时,由x∈[0,a]得f(x)的最大值,最小值,要使方程f(x)-k=0(x∈[0,a])有解,解相应不等式即可得解.
解答 (本小题满分14分)
解:(1)∵f(x)的图象相邻两最高点的距离为π,∴$T=\frac{2π}{ω}=π$,ω=2…(2分)
又其图象的一个对称中心为$(\frac{π}{3},0)$,故$2×\frac{π}{3}+φ+\frac{π}{6}=kπ(k∈Z)$,
∴$φ=kπ-\frac{5π}{6}(k∈Z)$,由$0<φ<\frac{π}{2}$得$φ=\frac{π}{6}$…(4分)
(2)由(1)知$f(x)=2asin(2x+\frac{π}{3})$
当a>0时,由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$得f(x)单调增区间为$[-\frac{5π}{12}+kπ,\frac{π}{12}+kπ]$…(6分)
当a<0时,由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ$得f(x)单调增区间为$[\frac{π}{12}+kπ,\frac{7π}{12}+kπ]$…(8分)
(3)当$0<a<\frac{π}{12}$时,由x∈[0,a]得$f{(x)_{max}}=f(a)=2asin(2a+\frac{π}{3})$,$f{(x)_{min}}=f(0)=\sqrt{3}a$,…(9分)
当$\frac{π}{12}≤a≤\frac{π}{6}$时,由x∈[0,a]得$f{(x)_{max}}=f(\frac{π}{12})=2a$,$f{(x)_{min}}=f(0)=\sqrt{3}a$,…(10分)
当$\frac{π}{6}<a<\frac{7π}{12}$时,由x∈[0,a]得$f{(x)_{max}}=f(\frac{π}{12})=2a$,$f{(x)_{min}}=f(a)=2asin(2a+\frac{π}{3})$,…(11分)
当$a≥\frac{7π}{12}$时,由x∈[0,a]得$f{(x)_{max}}=f(\frac{π}{12})=2a$,$f{(x)_{min}}=f(\frac{7π}{12})=-2a$,…(12分)
综上所述:要使方程f(x)-k=0(x∈[0,a])有解,
当$0<a<\frac{π}{12}$时,$\sqrt{3}a≤k≤2asin(2a+\frac{π}{3})$;
当$\frac{π}{12}≤a≤\frac{π}{6}$时,$\sqrt{3}a≤k≤2a$;
当$\frac{π}{6}<a<\frac{7π}{12}$时,$2asin(2a+\frac{π}{3})≤k≤2a$;
当$a≥\frac{7π}{12}$时,-2a≤k≤2a…(14分)
点评 本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象和性质,函数的性质及应用,属于基本知识的考查.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{3π}{4}$ | B. | $\frac{2π}{3}$ | C. | $\frac{π}{2}$ | D. | $\frac{π}{4}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{3}$ | B. | 1 | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{2}{3}$ |
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