Question

已知函数f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x-1．
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）用五点法作出函数f（x）一个周期内的图象；
（3）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的最大值和最小值及相应的x的值．

Answer 1

分析：（1）化简函数解析式2sin（2x+

π

6

），利用周期公式求出f（x）的最小正周期．
（2）利用五点作图法，列表后可作出函数的图象．
（3）由（1）知在区间[0，

π

6

]上为增函数，在区间[

π

6

，

π

2

]上为减函数，从而求得最值．

解答：解：（1）由f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x-1，得f(x)=

3

(2sinxcosx)+(2cos2x-1)=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)
所以函数f（x）的最小正周期为π
2）列表如下：

2x+ π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
x	- π 12	π 6	5π 12	2π 3	11π 12
y	0	2	0	-2	0

（3）因为f(x)=2sin(2x+

π

6

)在区间[0，

π

6

]上为增函数，在区间[

π

6

，

π

2

]上为减函数，则最大值f(

π

6

)=2，最小值f(

π

2

)=-1．

点评：本题主要考查两角和与差的正弦定理和正弦函数的五点作图法的应用，考查基础知识的综合应用．