Question

（文）已知直线l与曲线y=

1

x

相切，分别求l的方程，使之满足：
（1）l经过点（-1，-1）；（2）l经过点（2，0）；（3）l平行于直线y=-2x．

Answer 1

分析：（1）由题意可得点（-1，-1）在曲线上，故切线的斜率为y′/x=-1，用点斜式求直线方程．
（2）设切线的方程为 y-0=k（x-2），代入曲线的方程化简，由判别式△=4k²+4k=0 可得k 值，用点斜式求直线方程．
（3）设直线l的方程为 y=-2x+m，代入曲线方程化简，由△=m²-8=0 可求得m 值，从而得到所求的切线方程．

解答：解：（1）由题意可得点（-1，-1）在曲线上，故切线的斜率为y′/x=-1=-1，
故切线的方程为 y+1=-1（x+1），即 x+y+2=0．
（2）设切线的斜率为k，则k≠0，切线的方程为 y-0=k（x-2），代入曲线的方程化简可得
kx²-2kx-1=0，由△=4k²+4k=0 可得，k=-1．
故所求的直线方程为 y=-x+2．
（3）设直线l的方程为 y=-2x+m，代入曲线方程化简可得 2x²-mx+1=0，
由△=m²-8=0可得  m=2

2

，或  m=-2

2

，
故所求的切线方程为 y=-2x+2

2

， 或 y=-2x-2

2

．

点评：本题考查用点斜式求直线方程，直线和曲线相切的性质，求出切线的斜率是解题的关键．