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1.正四面体A-BCD中,E为BC中点,F为直线BD上一点,则平面AEF与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围是[$\frac{\sqrt{2}}{3}$,1].

分析 由题意把正四面体A-BCD放到正方体BK内,则平面ACD与平面AEF所成角的正弦值等于平面ACD的法向量BK与平面AEF所成角的余弦值,由此能求出平面AEF与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围.

解答 解:由题意把正四面体A-BCD放到正方体BK内,
则平面ACD与平面AEF所成角的正弦值等于平面ACD的法向量BK与平面AEF所成角的余弦值,
问题等价于平面AEF绕AE转动,
当平面ACD与平面AEF所成角等于BK与AE夹角时,
平面AEF与平面ACD所成二面角的正弦值取最小值,
此时该正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$;
当平面AEF与BK平行时,所成角为0°,
此时正弦值为1.
∴平面AEF与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围为[$\frac{\sqrt{2}}{3}$,1].
故答案为:[$\frac{\sqrt{2}}{3}$,1].

点评 本题考查二面角的正弦值的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.

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甲校:
分组[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)
频数34815
分组[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]
频数15x32
乙校:
分组[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)
频数1289
分组[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]
频数1010y3
(1)计算x,y的值;
(2)若成绩不小于120分为优秀,否则为非优秀,由以上统计数据填写答题卷中的2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为两所学校高一技术考试成绩有差异(计算保留3位小数).
参考数据与公式:K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
临界值表:
P(K2≥k00.150.100.050.010
k02.0722.7063.8416.635

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