Question

【题目】定义在R上的函数f（x）对任意0＜x2＜x1都有 ＜1．且函数y=f（x）的图象关于原点对称，若f（2）=2，则不等式f（x）﹣x＞0的解集是（ ）
A.（﹣2，0）∪（0，2）
B.（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C.（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
D.（﹣2，0）∪（2，+∞）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：令x1=x＞2，x2=2，则0＜x2＜x1，

则有 = = ＜1，

即f（x）﹣2＜x﹣2，

即x＞2时，f（x）﹣x＜0，

令0＜x=x2＜2，x1=2，则0＜x2＜x1，

则有 = = ＜1，

即f（x）﹣2＞x﹣2，

即0＜x＜2时，f（x）﹣x＞0，

又由函数y=f（x）的图象关于原点对称，

∴﹣2＜x＜0时，f（x）﹣x＜0，

x＜﹣2时，f（x）﹣x＞0，

综上可得：不等式f（x）﹣x＞0的解集（﹣∞，﹣2）∪（0，2），

故选：C

【考点精析】掌握函数单调性的性质和函数奇偶性的性质是解答本题的根本，需要知道函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集；在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．