Question

（本小题满分14分）

如图所示，四棱锥中，底面为正方形，平面，，，，分别为、、的中点．

（1）求证：；

（2）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）要证 ，只需证，只需证 平面； （2）。

【解析】

试题分析：（1）∵平面，平面，

∴   又为正方形，∴．又，…………3分

∴平面 ∵平面，∴． ………………………………5分

∵中，中位线，∴     ……………6分

（2）记AD中点为H，连结FH、HG，易知GH//DC，，    

又中EF//DC，∴EF//GH所以E、F、H、G四点共面……7分

∴平面EFG与平面ABCD交于GH，所求锐二面角为F-GH-D.……………8分

由（1）平面，EF//DC//GH∴平面

即平面FHD，平面FHD，

所以FH，DH，

∴二面角F-GH-D的平面角是  ……………………11分

FH是等腰直角的中位线，=  …………………………13分

∴所求锐二面角的余弦值为．………………14分

证法2：DA、DC、DP两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系…1分

则，， ，，G(1,2,0)，       ………3分

（1）， ………………4分

∵ ∴……6分

∴      ………………………………………7分

（2）∵平面，

∴是平面的一个法向量．………9分

设平面EFG的法向量为，∵

令,得是平面的一个法向量. …………11分

∵        …………………………13分

∴所求锐二面角的余弦值为．                ……………………………14分

考点：线面垂直的性质定理；线面垂直的判定定理；二面角。

点评：二面角的求法是立体几何中的一个难点。我们解决此类问题常用的方法有两种：①综合法，综合法的一般步骤是：一作二说三求。②向量法，运用向量法求二面角应注意的是计算。很多同学都会应用向量法求二面角，但结果往往求不对，出现的问题就是计算错误。