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【题目】已知非单调数列{an}是公比为q的等比数列,a1,其前n项和为Sn(n∈N*),且满足S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.

(1)求数列{an}的通项公式和前n项和Sn

(2)bn,求数列{bn}的前n项和Tn.

【答案】(1);(2)见解析

【解析】

(1)由已知S3a3S5a5S4a4成等差数列构造方程解出公比q,代入等比数列的通项公式和前n项和公式可求出anSn;(2)由(1)求出bn=(-1)nn2,前半部分利用分类法和等差数列求和公式求和,后半部分利用错位相减法和等比数列前n项和公式求和.

(1)∵S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,

∴2(S5+a5)=(S3+a3)+(S4+a4)

∴a3=4a5,q2,q=-

an·n-1

∴Sn=1-n.

(2)bn=(-1)nn2Sn=(-1)nn2=(-1)nn2.

设(-1)nn2的前n项和为Hn的前n项和为Qn

当n为偶数时,

Hn=-12+22-32+42+…-(n-1)2+n2=1+2+3+4+…+n-1+n=

Qn=1×+2×2+…+n×n ①

Qn=1×2+…+(n-1)×n+n×n+1 ②

①-②得, Qn2+…+n-n×n+1=1-

∴Qn=2-

∴Tn=Hn+Qn+2-

当n为奇数时,

Hn-n2=-

∴Qn=2-

∴Tn=Hn+Qn=-+2-=-

综合①②,∴Tn

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