【题目】已知非单调数列{an}是公比为q的等比数列,a1=,其前n项和为Sn(n∈N*),且满足S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式和前n项和Sn;
(2)bn=+,求数列{bn}的前n项和Tn.
【答案】(1),;(2)见解析
【解析】
(1)由已知S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列构造方程解出公比q,代入等比数列的通项公式和前n项和公式可求出an与Sn;(2)由(1)求出bn=(-1)nn2+,前半部分利用分类法和等差数列求和公式求和,后半部分利用错位相减法和等比数列前n项和公式求和.
(1)∵S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,
∴2(S5+a5)=(S3+a3)+(S4+a4)
∴a3=4a5,q2=,q=-,
an=·n-1,
∴Sn=1-n.
(2)bn=(-1)nn2Sn+=(-1)nn2+=(-1)nn2+.
设(-1)nn2的前n项和为Hn,的前n项和为Qn
①当n为偶数时,
Hn=-12+22-32+42+…-(n-1)2+n2=1+2+3+4+…+n-1+n=,
Qn=1×+2×2+…+n×n ①
Qn=1×2+…+(n-1)×n+n×n+1 ②
①-②得, Qn=+2+…+n-n×n+1=1-,
∴Qn=2-
∴Tn=Hn+Qn=+2-=-
②当n为奇数时,
Hn=-n2=-,
∴Qn=2-
∴Tn=Hn+Qn=-+2-=--
综合①②,∴Tn=
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【题目】已知数列{an}中,a1=1且an﹣an﹣1=3×()n﹣2(n≥2,n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式:
(2)若对任意的n∈N*,不等式1≤man≤5恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】已知函数,函数g(x)=f(1-x)-kx+k-恰有三个不同的零点,则k的取值范围是( )
A. (-2-,0]∪ B. (-2+,0]∪
C. (-2-,0]∪ D. (-2+,0]∪
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【题目】A,B两城相距100 km,在两地之间距A城x km处的D地建一核电站给A,B两城供电.为保证城市安全,核电站与城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数λ=0.25.若A城供电量为20亿度/月,B城为10亿度/月.
(1)求x的取值范围;
(2)把月供电总费用y表示成x的函数;
(3)核电站建在距A城多远,才能使供电费用最小?
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【题目】如图,在平行四边形中,,,以为折痕将△折起,使点到达点的位置,且.
(1)证明:平面平面;
(2)为线段上一点,为线段上一点,且,求三棱锥的体积.
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