Question

【题目】如图，在中，，点为的中点，点为线段垂直平分线上的一点，且，固定边，在平面内移动顶点，使得的内切圆始终与切于线段的中点，且、在直线的同侧，在移动过程中，当取得最小值时，的面积为（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用圆的切线长定理，得到点的轨迹是以、为焦点的双曲线在第一象限部分，然后利用直线段最短，得到点C的位置，再求三角形的面积.

如图，

以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，

则，，，设的内切圆分别切、、于，，点，

∵，

所以点的轨迹是以、为焦点的双曲线的第一象限部分，且，，，

∴的轨迹方程为．

∵，∴，∴，

则当点为线段与双曲线在第一象限的交点时，最小，

如图所示：

线段的方程为，将其代入，得，

解得（舍去）或，∴，

∴．

∴的面积为．

故选：A