Question

7．设函数f（x）对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，满足（x₁-x₂）•[f（x₁）-f（x₂）]＞0，且f（x-1）＜f（x²-1），则x的取值范围是（1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 由函数的单调性的定义，可得f（x）在[-1，1]上递增，由f（x-1）＜f（x²-1），可得$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x-1≤1}\\{-1≤{x}^{2}-1≤1}\\{x-1＜{x}^{2}-1}\end{array}\right.$，由不等式的解法，即可得到所求x的范围．

解答 解：f（x）满足（x₁-x₂）•[f（x₁）-f（x₂）]＞0，
即有f（x）在[-1，1]上递增，
由f（x-1）＜f（x²-1），可得
$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x-1≤1}\\{-1≤{x}^{2}-1≤1}\\{x-1＜{x}^{2}-1}\end{array}\right.$，
即为$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤2}\\{-\sqrt{2}≤x≤\sqrt{2}}\\{x＞1或x＜0}\end{array}\right.$，
解得1＜x≤$\sqrt{2}$．
故答案为：（1，$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查函数的单调性的运用：解不等式，注意运用单调性的定义以及函数的定义域，属于中档题和易错题．